文/曹向東（美國(guó)布朗大學(xué)博士后）
       2016年1月7日，美國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)扃晖ㄟ^(guò)參與一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大的完美數(shù)——2^74207280（2^74207281-1）。該數(shù)長(zhǎng)達(dá)44677235位，如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來(lái)，其長(zhǎng)度可達(dá)200公里！澳大利亞數(shù)學(xué)家帕克指出，這是一個(gè)巨大的科學(xué)成就。美國(guó)《紐約時(shí)報(bào)》、英國(guó)廣播公司（BBC）等國(guó)際主流媒體都對(duì)這一科學(xué)成就作了報(bào)道，并給予了高度評(píng)價(jià)。
      “完美數(shù)”(Perfect Number)又稱“完全數(shù)”或“完滿數(shù)”，指的是具有如下特征的自然數(shù)：所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和（即因子函數(shù)），恰好等于它本身（如最小的完美數(shù)6=1+2+3）。正如古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派認(rèn)為的那樣：數(shù)本身就是完美的，而完美數(shù)就是這美的代表。
       公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其名著《幾何原本》中證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，如2、3、5、7、11等等。該書第九章最后一個(gè)命題首次給出了尋找完美數(shù)的方法，被譽(yù)為歐幾里得定理：如果2^P-1是素?cái)?shù)(其中指數(shù)P也是素?cái)?shù))，則2^(P-1)(2^P-1)是完美數(shù)。
       公元1世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員、古希臘數(shù)學(xué)家尼可馬修斯在其數(shù)論專著《算術(shù)入門》中，正確地給出了6、28、496和8128這四個(gè)完美數(shù)，并通俗地復(fù)述了歐幾里得尋找完美數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類：富裕數(shù)、不足數(shù)和完美數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數(shù)之和。
       完美數(shù)在古希臘誕生后，吸引著人們像淘金般去尋找。雖然一代又一代人付出了無(wú)數(shù)的心血和汗水，但第5個(gè)完全數(shù)還是沒人找到。后來(lái)，由于歐洲不斷進(jìn)行戰(zhàn)爭(zhēng)，希臘科學(xué)逐漸衰退，一些優(yōu)秀的科學(xué)家?guī)е麄兊某晒椭腔奂娂娞油⒗?、印度、意大利等?guó)；從此，希臘文明一蹶不振。
       到了13世紀(jì)，完美數(shù)的研究才出現(xiàn)一線曙光。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契經(jīng)過(guò)推算宣布找到了一個(gè)尋找完美數(shù)的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過(guò)眼煙云。光陰似箭，1456年，還當(dāng)人們迷惘之際，有人偶然發(fā)現(xiàn)在一位無(wú)名氏的手稿中，竟神秘地給出了第5個(gè)完美數(shù)33550336。這比起第4個(gè)完美數(shù)8128大了4000多倍。跨度如此之大，在計(jì)算落后的年代可想發(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但是手稿里沒有說(shuō)明他是用什么方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。
       意大利數(shù)學(xué)家克特迪歷盡艱辛，終于在1588年發(fā)現(xiàn)了第6個(gè)和第7個(gè)完美數(shù)2^16(2^17-1)和2^18(2^19-1)，但他又錯(cuò)誤地認(rèn)為2^22(2^23-1)、2^28（2^29-1）和2^36（2^37-1）也是完美數(shù)。這三個(gè)數(shù)后來(lái)被法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和瑞士數(shù)學(xué)家歐拉否定了。1644年法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森在其所著的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中聲稱：當(dāng)P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127和257時(shí)，2^(P-1)(2^P-1)是完美數(shù)。這就是著名的“梅森猜想”（Mersenne Conjecture）。
       1730年，被稱為“世界四大數(shù)學(xué)家雄獅”之一的歐拉，時(shí)年23歲，正值風(fēng)華茂盛。他出手不凡，給出了一個(gè)出色的定理：每一個(gè)偶完美數(shù)都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然數(shù)，其中P是素?cái)?shù)，2^P-1也是素?cái)?shù)。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得和歐拉兩個(gè)互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成為判斷一個(gè)偶數(shù)是不是完美數(shù)的充要條件了。
       歐拉研究梅森猜想后指出：“我冒險(xiǎn)斷言：每一個(gè)小于50的素?cái)?shù)，甚至小于100的素?cái)?shù)使2^(P-1)(2^P-1)是完美數(shù)的僅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我從一個(gè)優(yōu)美的定理出發(fā)得到了這些結(jié)果，我自信它們具有真實(shí)性?！?772年歐拉因過(guò)度拼命工作造成雙目失明，但他仍未停止探究；他用心算證明了當(dāng)P=31時(shí)，2^30(2^31-1)是第8個(gè)完美數(shù)（即2305843008139952128），該數(shù)有19位，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大完美數(shù)。同時(shí)，他還發(fā)現(xiàn)自己過(guò)去認(rèn)為P=41和P=47時(shí)是完美數(shù)是錯(cuò)誤的。
       其實(shí)梅森猜想中有錯(cuò)漏，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)猜想中P=67和P=257時(shí)2^(P-1)(2^P-1)并不是完美數(shù)，P≤257范圍內(nèi)還漏掉了P=61、P=89和P=107時(shí)的3個(gè)完美數(shù)。但由于梅森在17世紀(jì)的歐洲起了一個(gè)極不平常的思想通道作用，在學(xué)人心目中有著極其崇高的地位；為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界將2^P-1型的素?cái)?shù)命名為“梅森素?cái)?shù)”（Mersenne Prime）?？梢哉f(shuō)，只要找到梅森素?cái)?shù)，就可以找到與其對(duì)應(yīng)的完美數(shù)了。
       手算時(shí)代，人們歷盡艱辛，僅找到12個(gè)完美數(shù)，即P=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127時(shí)，2^(P-1)(2^P-1)是完美數(shù)。17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)公開預(yù)言：“能找出完美數(shù)是不會(huì)多的，好比人類一樣，要找一個(gè)完美人亦非易事。”歷史也證實(shí)了他的預(yù)言。完美數(shù)稀少而優(yōu)美，所以被人們稱為“數(shù)論寶庫(kù)中的‘鉆石’”。
       電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，大大加快了探究完美數(shù)的步伐。例如，1952年美國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜使用SWAC型計(jì)算機(jī)在幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1；也可以說(shuō)，他發(fā)現(xiàn)了5個(gè)完美數(shù)。探究完美數(shù)不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對(duì)探究者來(lái)說(shuō)有一種巨大的自豪感。例如，1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)2^11213-1通過(guò)大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司(ABC)中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無(wú)比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2^11213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。由此可知，第23個(gè)完美數(shù)是2^11212（2^11213-1）。
       隨著指數(shù)P值的增大，每一個(gè)完美數(shù)的產(chǎn)生都艱辛無(wú)比；而數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者仍樂此不疲，激烈競(jìng)爭(zhēng)。例如，在1979年2月23日，當(dāng)美國(guó)克雷公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)2^23209-1時(shí)，有人告訴他們：在兩星期前美國(guó)加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們潛心發(fā)奮，又花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)2^44497-1。這件事成了當(dāng)時(shí)不少主流報(bào)紙的頭版新聞。后來(lái)史洛溫斯基還獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了6個(gè)梅森素?cái)?shù)，因而被人們譽(yù)為“素?cái)?shù)大王”；也可以說(shuō)，他是“完美數(shù)大王”。
       分布式計(jì)算技術(shù)的出現(xiàn)使完美數(shù)的探究如虎添翼。1996年初，美國(guó)計(jì)算機(jī)專家沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。這就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目；該項(xiàng)目主要利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置處理能力來(lái)獲得相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力。美國(guó)計(jì)算機(jī)專家?guī)鞝栁炙够?997年建立了“素?cái)?shù)網(wǎng)”(PrimeNet)，使分配搜索區(qū)間和向GIMPS發(fā)送報(bào)告自動(dòng)化。人們只要從該項(xiàng)目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以通過(guò)尋找梅森素?cái)?shù)來(lái)發(fā)現(xiàn)完美數(shù)了。
       2008年8月23日，美國(guó)計(jì)算機(jī)專家史密斯通過(guò)參與GIMPS項(xiàng)目，找到了第47個(gè)梅森素?cái)?shù)——2^43112609-1，該數(shù)超過(guò)1000萬(wàn)位；也可以說(shuō)，他發(fā)現(xiàn)了第47個(gè)完美數(shù)——2^43112608-1（2^43112609-1）。這一成果被著名的《時(shí)代》周刊評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。2016年1月7日，庫(kù)珀找到了第49個(gè)梅森素?cái)?shù)——2^74207281-1，從而發(fā)現(xiàn)了第49個(gè)完美數(shù)——2^74207280（2^74207281-1）；他早在1997年就參加了GIMPS項(xiàng)目，一共發(fā)現(xiàn)了4個(gè)完美數(shù)。 
       尤其值得一提的是，在梅森素?cái)?shù)的基礎(chǔ)研究方面，法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯和美國(guó)數(shù)學(xué)家萊默都做出了重要貢獻(xiàn)；以他們的姓氏命名的“盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法”是目前已知的檢測(cè)梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法，該方法基于循環(huán)數(shù)列的計(jì)算。另外，中國(guó)數(shù)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家周海中在研究梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律方面取得了重大突破；以他的姓氏命名的“周氏猜測(cè)”敘述了梅森素?cái)?shù)的分布狀況，并給出了精確表達(dá)式。這些科研成果為人們探究完美數(shù)提供了方便。
       由于完美數(shù)具有奇特的性質(zhì)、無(wú)窮的魅力和極大的挑戰(zhàn)性，千百年來(lái)一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家和無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它進(jìn)行探究。也許有人會(huì)問：完美數(shù)有什么用？盡管我們現(xiàn)在還看不到完美數(shù)的實(shí)際用處，但它反映了自然數(shù)的某些基本規(guī)律，并推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究。而構(gòu)成完美數(shù)的關(guān)鍵部分——梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代卻具有重要的實(shí)用價(jià)值，通過(guò)對(duì)它的尋找可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)芯片存在的問題。例如，德國(guó)一名GIMPS項(xiàng)目參與者最近發(fā)現(xiàn)：當(dāng)美國(guó)英特爾公司的第六代微處理器架構(gòu)Intel Skylak在執(zhí)行Prime95應(yīng)用來(lái)尋找梅森素?cái)?shù)時(shí)，運(yùn)算到指數(shù)P=14942209就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機(jī)的漏洞；英特爾公司此后承認(rèn)存在該漏洞并做了修復(fù)。
       最后值得一提的是，已被發(fā)現(xiàn)的49個(gè)完美數(shù)，統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，其中個(gè)位數(shù)不是6就是8，于是數(shù)學(xué)家提出疑問：存不存在奇數(shù)的完美數(shù)？雖然目前誰(shuí)也不知道奇完美數(shù)是否存在，但經(jīng)過(guò)一代又一代數(shù)學(xué)家研究計(jì)算，有一點(diǎn)是明確的，那就是如果存在一個(gè)奇完美數(shù)的話，那么它一定是非常大的。有多大呢？遠(yuǎn)的不說(shuō)，上世紀(jì)中期挪威數(shù)學(xué)家奧爾檢查過(guò)10^18以下自然數(shù)，沒有一個(gè)奇完美數(shù)；1967年美國(guó)數(shù)學(xué)家塔克曼宣布，如果奇完美數(shù)存在，它必須大于10^36，這是一個(gè)37位數(shù)；2012年，法國(guó)數(shù)學(xué)家奧辰和拉奧證明它必須大于10^1500。這種難于捉摸的奇完美數(shù)也許可能有，但它實(shí)在太大，以至超出了人們能夠用計(jì)算機(jī)計(jì)算的范圍了。對(duì)奇完美數(shù)是否存在，產(chǎn)生如此多的估計(jì)，也是數(shù)學(xué)界的一大奇聞！另外，完美數(shù)是否有無(wú)窮多個(gè)？這也是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題，它與其他數(shù)學(xué)難題一樣，有待人們?nèi)スタ耍欢议_這些未知之謎，正是科學(xué)追求的目標(biāo)。

科技中國(guó)2017年第四期p67-69